গাণিতিক যুক্তিঃ এক নজরে জ্যামিতি

বিসিএস পরীক্ষায় গাণিতিক যুক্তি এক নজরে জ্যামিতি এই টপিকটি অনেক গুরুত্বপূর্ণ। BCS ছাড়াও সকল ধরণের প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার জন্য খুবই গুরুত্বপূর্ণ ।

এক নজরে জ্যামিতির সকল সংজ্ঞা।

❑ সরল কোণ (Straight angle) : দু’টি সরল রেখাপরস্পর সম্পর্ণ বিপরীত দিকে গমন করলে রেখাটির দু’পাশে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে সরলকোণ বলে। সরলকোণ দুই সমকোণের সমান বা ১৮০°।
❑ সূক্ষ্মকোণ (Acute angle) : এক সমকোণ (৯০°) অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষকোণ বলে।
❑ সমকোণ (Right angle) : একটি সরল রেখার উপর অন্য একটি লম্ব টানলে এবং লম্বের দু’পাশে অবস্থিত ভূমি সংলগ্ন কোণ দুটি সমান হলে, প্রতিটি কোণকে সমকোণ বলে। এক সমকোণ= ৯০°

❑ স্থূলকোণ (Obtuse angle) : এক সমকোণ অপেক্ষা বড় বিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে সথূলকোণ বলে।
❑ প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle) : দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্তু চার সমকোণ
অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবদ্ধ কোণ বলে। অর্থাৎ ৩৬০° > x ১৮০° হলে x একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।
❑ বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite angle ) : দু’টি সরল রেখা পরস্পর ছেদ করলে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় এদের যে কোন একটিকে তার বিপরীত কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে।
❑ সম্পূরক কোণ(Supplementary angle ) : দু’টি কোণের সমষ্টি ১৮০° বা দুই সমকোণ হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

❑ স্থূলকোণী ত্রিভূজ (Obtuse angled triangle) : যে ত্রিভূজের একটি কোণ স্থূলকোণ বা এক সমকোণ অপেক্ষা বড় তাকে স্থূলকোণী ত্রিভূজ বলে। কোন ত্রিভূজের একের অধিক স্থূলকোণ থাকতে পারে না।
❑ সমকোণী ত্রিভূজ (Right angled triangle) : যে ত্রিভূজের একটি কোণ সমকোণ তাকে সমকোণী ত্রিভূজ বলে। কোন ত্রিভূজে একটির অধিক সমকোণ থাকতে পারে না। সমকোণী ত্রিভূজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভূজ এবং সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের একটিকে ভূমি এবং অপরটিকে লম্ব বলা হয়।
❑ পূরককোণ (Complementary angle) : দু’টি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
❑ একান্তর কোণ : দু’টি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীত পাশে সমান্তরাল রেখা যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে একান্তর কোণ বলে। একান্তর কোণগুলো পরস্পর সমান হয়।
❑ অনুরূপকোণ: দু’টি সমান্তরাল সরল রেখাকে অপর একটি সরল রেখা ছেদ করলে ছেদকের একই পাশে যে কোণ উৎপন্ন হয় তকে অনুরূপ কোণ বলে। অনুরূপ কোণগুলো পরস্পর সমান হয়।
❑ সন্নিহিতকোণ: যদি দু’টি কোণের একটি সাধারণ বাহু থাকে তবে একটি কোণের অপর কোণের সন্নিহিত কোণ বলে।
❑ ত্রিভূজ (Triangle): তিনটি সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভূজ বলে।
❑ সুক্ষ্মকোণী ত্রিভূজ (Acute angle triangle ) : যে ত্রিভূজের তিনটি কোণই এক সমকোণ(৯০° ) এর ছোট তাকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভূজ বলে।

❑ পরিবৃত্ত : তিনটি শীর্ষবিন্দু যোগ করে যেমন একটিমাত্র ত্রিভুজ হয় তেমনি তিনটি বিন্দু (শীর্ষ)গামী বৃত্তও একটিই, এর নাম পরিবৃত্ত।
❑ পরিকেন্দ্র : পরিবৃত্তের কেন্দ্র (যে বিন্দু ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় থেকে সমদূরত্বে স্থিত)।
❑ চতুর্ভুজ : চারটি রেখাংশ দিয়ে সীমাবদ্ধ সরলরৈখিক ক্ষেত্রের সীমারেখাকে চতুর্ভুজ বলে।
বিকল্প সংজ্ঞা: চারটি রেখাংশ দিয়ে আবদ্ধ চিত্রকে চতুর্ভুজ বলে।
❑ কর্ণঃ চতুর্ভুজের বিপরীত শীর্ষ বিন্দুগুলোর দিয়ে তৈরি রেখাংশকে কর্ণ বলে। চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি তার পরিসীমার চেয়ে কম।

❑ চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্যঃ চারটি বাহু, চারটি কোন, অন্তর্বর্তী চারটি কোনের সমষ্টি ৩৬০°।
❑ সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল এবং বিপরীত কোণগুলো সমান (কিন্তু কোণ গুলো সমকোন নয়), তাকে সামান্তরিক বলে। সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
❑ আয়ত: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল এবং প্রতিটি কোণ সমকোণ, তাকে আয়ত বলে।
❑ বর্গক্ষেত্র: বর্গক্ষেত্র বলতে ৪টি সমান বাহু বা ভূজ বিশিষ্ট বহুভূজ, তথা চতুর্ভূজকে বোঝায়, যার প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণ এক সমকোণ বা নব্বই ডিগ্রীর সমান।

❑ রম্বসঃ যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান তাকে রম্বস বলে।রম্বস হলো সামান্তরিকের একটি বিশেষ রূপ অর্থাৎ সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে যায়।(রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।)
❑ ট্রাপিজিয়াম (Trapezium) : যে চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল কিন্তু অসমান তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।
❑ বহুভুজঃ একই সমতলে অবস্থিত কতকগুলো রেখাংশ তাদের প্রান্তবিন্দুতে পরস্পর যুক্ত হয়ে যে বদ্ধ সমতলীয় আকৃতি তৈরি করে তাকে বহুভুজ বলে।

সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ বহুভুজ হয়, বক্র রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ বহুভুজ নয়
যদি বহুভুজের সবগুলি বাহু ও কোণ সমান হয়, তবে সেটিকে সুষম বহুভুজ বলে।
❑ বিপ্রতীপ কোণঃ কোন কোণের বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি যে কোণ তৈরি করে, তা ঐ কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে।
❑ গোলকঃ দুইটি পরস্পর বিপরীত রশ্মি তাদের সাধারণ প্রান্ত বিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে সরল কোণ বলে।
❑ প্রবৃদ্ধকোণঃ দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধকোণ বলে।
❑ সমান্তরাল রেখাঃ একই সমতলে অবস্থিত দুটি সরল রেখা একে অপরকে ছেদ না করলে, তাদেরকে সমান্তরাল সরল রেখা বলে।

❑ ছেদকঃ যে সরলরেখা দুই বা ততোধিক সরলরেখাকে ছেদ করে, তাকে ছেদক বলে।
❑ অন্তঃকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকগুলো সমবিন্দু ।ত্রই বিন্দু ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।
❑ পরিকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের লম্বদ্বিখন্ডকত্রয় সমবিন্দু। ত্রই বিন্দু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র।
❑ ভরকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের কোণ একটি শীর্ষবিন্দু এবং তার বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাকে মধ্যমা বলে। ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু। ত্রই বিন্দু ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র।

❑ লম্ব কেন্দ্রঃ ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুগুলির উপর তিনটি লম্ব সমবিন্দুগামী, এবং বিন্দুটির নাম লম্বকেন্দ্র (Orthocenter )
❑ লম্ববিন্দুঃ ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় হতে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বত্রয় সমবিন্দু। ত্রই বিন্দু ত্রিভুজের লম্ববিন্দু।
❑ সর্বসমঃ দুইটি ক্ষেত্র সর্বসম হবে যদি একটি ক্ষেত্র অন্যটির সাথে সর্বতোভাবে মিলে যায়। সর্বসম বলতে আকার ও আকৃতি সমান বুঝায়।

❑ কোণকঃ কোন সমকোণী ত্রিভুজে সমকোণ সংলগ্ন যে কোন একটি বাহুকে স্থির রেখে ঐ বাহুর চতুর্দিকে ত্রিভুজটিকে ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তাকে সমবৃত্তভুমিক কোণক বলে।
❑ সিলিন্ডার বা বেলুনঃ একটি আয়তক্ষেত্রের যে কোন একটি বাহুকে স্থির রেখে ঐ বাহুর চতুর্দিকে আয়তক্ষেত্রটিকে ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তাকে সমবৃত্তভুমিক বেলুন বলে।

❑ বর্গঃ আয়তক্ষেত্রের দুটি সন্নিহিত বাহু সমান হলে তাকে বর্গ বলে।
❑ স্পর্শকঃ একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার যদি একটি ও কেবল ছেদবিন্দু থাকে তবে রেখাটিকে বৃত্তটির একটি স্পর্শক বলা হয়।
❑ সাধারণ স্পর্শকঃ একটি সরলরেখার যদি দুইটি বৃত্তের স্পর্শক হয়, তবে বৃত্ত দুইটির একটি সাধারণ স্পর্শক বলা হয়।
❑ আয়তিক ঘনবস্তুঃ তিন জোড়া সমান্তরাল আয়তাকার সমতল বা পৃষ্ট দ্বারা আবদ্ধ ঘনবস্তুকে আয়তিক ঘনবস্তু বলে।
❑ ঘনকঃ আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে, তাকে ঘনক বলে।
❑বাহু :
❑ ত্রিভুজের বাহু = ৩টি,
❑ চতুর্ভুজের বাহু = ৪টি
❑ বৃত্তের বাহু = নাই,
❑ ঘনকের বাহু = ৮টি
❑ ঘনবস্তুর বাহু = ১২টি

❑ কিছু প্রাসঙ্গিক ইংরেজী শব্দ
Geometry-জ্যামিতি,
Point-বিন্দু্,
Line-রেখা,
Solid-ঘনবস্ত
Angle-কোণ,
Adjacent angle-সন্নিহিত কোণ,
Vertically opposite angles-বিপ্রতীপকোন,
Straight angles-সরলরেখা,
Right angle-সমকোণ,
Acute angle সূক্ষকোণ,
Obtuse angle- স্থুলকোণ ,
Reflex angle –প্রবিদ্ধ কোন,
Complementary angle-পূরক কোণ,
Supplementary angle-সম্পুরক কোণ,
Parallel line-সমান্তরাল রেখা,
Transversal-ছেদক,
Alternate angle-একান্তর কোণ,
Corresponding angle-অনুরূপ কোণ,
In-center – অন্ত-কেন্দ্র,
Circumcenter – পরিকেন্দ্র,
Centroid –ভরকেন্দ্র,
Orthocenter- লম্ববিন্দু,
Equilateral triangle-সমবাহু ত্রিভুজ,
Isosceles angle-সমদিবাহু ত্রিভুজ,
Scalene angle –বিষমবাহু ত্রিভুজ,
Right angled triangle- সমকোণী ত্রিভুজ,
Acute angled triangle-সূক্ষকোণী ত্রিভুজ,
Obtuse angled triangle-স্থুলকোণী ত্রিভুজ,
Congruent – সর্বসম,
Equiangular triangles-সদৃশকোণী ত্রিভুজ,
Quadrilateral- চতুভুজ,
Diagonal-কর্ণ,
Parallelogram- সামন্তরিক,
Rectangle-আয়তক্ষেত্র,
Square-বর্গ, Rhombus-রম্বস,
Mensuration -পরিমিতি